与えられた4つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = 1$ (2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$ (3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$ (4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 = 1$

(2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

(3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

(4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = 1$

$x^3 - 1 = 0$

$(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x-1 = 0$ より $x = 1$

$x^2 + x + 1 = 0$ より、解の公式を使って

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

$y = x^2$ と置くと

$y^2 - 4y + 3 = 0$

$(y-1)(y-3) = 0$

$y=1$ または $y=3$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$

(3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

$P(x) = x^3 + x^2 - 7x + 2$ とおく。

$P(2) = 2^3 + 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 8 + 4 - 14 + 2 = 0$

よって、$x-2$ を因数に持つ。

$x^3 + x^2 - 7x + 2 = (x-2)(x^2 + 3x - 1) = 0$

$x-2 = 0$ より $x = 2$

$x^2 + 3x - 1 = 0$ より、解の公式を使って

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

(4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1$ とおく。

$P(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + 2(1)^2 - 1 = 2 - 3 + 2 - 1 = 0$

よって、$x-1$ を因数に持つ。

$2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = (x-1)(2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$

$x-1 = 0$ より $x = 1$

$Q(x) = 2x^3 - x^2 + x + 1$ とおく。

$Q(-1/2) = 2(-1/2)^3 - (-1/2)^2 + (-1/2) + 1 = 2(-1/8) - (1/4) - (1/2) + 1 = -1/4 - 1/4 - 1/2 + 1 = 0$

よって、$x + 1/2$ を因数に持つ。言い換えると、$2x+1$ を因数に持つ。

$2x^3 - x^2 + x + 1 = (2x+1)(x^2 - x + 1) = 0$

$2x+1 = 0$ より $x = -1/2$

$x^2 - x + 1 = 0$ より、解の公式を使って

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = \pm 1, \pm \sqrt{3}$

(3) $x = 2, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

(4) $x = 1, -\frac{1}{2}, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$