絶対値を含む不等式 $|x-2| \ge 3$ を解きます。

## (1) $|x-2| \ge 3$

1. 問題の内容

絶対値を含む不等式 $|x-2| \ge 3$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値の定義より、以下の2つの場合に分けて考えます。

* $x-2 \ge 0$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、$x-2 \ge 3$ を解きます。

$x \ge 5$

* $x-2 < 0$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、$2-x \ge 3$ を解きます。

$-x \ge 1$

$x \le -1$

したがって、$x \ge 5$ または $x \le -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \le -1$ または $x \ge 5$

## (2) $|x-4| < 3x$

1. 問題の内容

絶対値を含む不等式 $|x-4| < 3x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値の定義より、以下の2つの場合に分けて考えます。また、$3x > 0$ である必要があるので、$x > 0$ である必要があります。

* $x-4 \ge 0$、つまり $x \ge 4$ のとき、$|x-4| = x-4$ なので、$x-4 < 3x$ を解きます。

$-4 < 2x$

$x > -2$

$x \ge 4$ と $x > -2$ の共通範囲は $x \ge 4$ です。

* $x-4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき、$|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、$4-x < 3x$ を解きます。

$4 < 4x$

$1 < x$

$x < 4$ と $x > 1$ の共通範囲は $1 < x < 4$ です。

上記の議論より、$x > 0$ が必要です。

$x \ge 4$ と $1 < x < 4$ を合わせると、$x > 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x > 1$