$k$を0と異なる実数の定数、$i$を虚数単位とする。 2次方程式 $x^2 + (3+2i)x + k(2+i)^2 = 0$ が実数解をただ一つ持つとき、以下の問いに答えよ。 (1) $k$ の値を求めよ。 (2) この2次方程式を満たす複素数 $x$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$k$を0と異なる実数の定数、$i$を虚数単位とする。

2次方程式 $x^2 + (3+2i)x + k(2+i)^2 = 0$ が実数解をただ一つ持つとき、以下の問いに答えよ。

(1) $k$ の値を求めよ。

(2) この2次方程式を満たす複素数 $x$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を実部と虚部に分離し、実数解を持つ条件を考える。

(1) $x$ を実数解とすると、$x^2 + (3+2i)x + k(2+i)^2 = 0$ より

$x^2 + 3x + 2ix + k(4 + 4i - 1) = 0$

$x^2 + 3x + 2ix + 3k + 4ki = 0$

$(x^2 + 3x + 3k) + (2x + 4k)i = 0$

$x$、$k$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ0になる。

$x^2 + 3x + 3k = 0$ ...(1)

$2x + 4k = 0$ ...(2)

(2)式より $x = -2k$。これを(1)式に代入する。

$(-2k)^2 + 3(-2k) + 3k = 0$

$4k^2 - 6k + 3k = 0$

$4k^2 - 3k = 0$

$k(4k - 3) = 0$

$k = 0$ または $k = \frac{3}{4}$

$k \neq 0$ より、$k = \frac{3}{4}$

(2) $k = \frac{3}{4}$ のとき、$x = -2k = -2(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2}$

$x^2 + (3+2i)x + k(2+i)^2 = 0$ に $k = \frac{3}{4}$ を代入すると

$x^2 + (3+2i)x + \frac{3}{4}(3+4i) = 0$

$4x^2 + (12+8i)x + (9+12i) = 0$

実数解 $x = -\frac{3}{2}$ を持つことは分かっているので、

$(x + \frac{3}{2})(ax + b) = 0$ の形になるはずである。

ここで、$a$ と $b$ は複素数。

$x = -\frac{3}{2}$ を代入すると、

$4x^2 + (12+8i)x + (9+12i) = 0$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、

$4(-\frac{3}{2})^2 + (12+8i)(-\frac{3}{2}) + (9+12i) = 4(\frac{9}{4}) - 18 - 12i + 9 + 12i = 9 - 18 - 12i + 9 + 12i = 0$

$4x^2 + (12+8i)x + (9+12i) = (2x+3)(2x + (4i+3)) = 0$

$4x^2 + 2x(4i+3) + 6x + 9+12i = 4x^2 + (6+8i+6)x + (9+12i) = 4x^2 + (12+8i)x + (9+12i) = 0$

$2x+3 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$

$2x + 3 + 4i = 0$ より $2x = -3 - 4i$

$x = -\frac{3}{2} - 2i$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{3}{4}$

(2) $x = -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2} - 2i$