複素数 $\alpha, \beta, \gamma, q$ について、以下の条件が与えられている。 $\alpha + \beta + \gamma = 3$ (1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 1 + 2q$ (2) $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2} = 1 - 2q + 4q^2$ (3) このとき、以下の問いに答える。 (1) (2)と(3)を利用して、$\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha}$ を $q$ を用いて表せ。 (2) $\alpha \beta \gamma$ と $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$ を $q$ を用いて表せ。 (3) $\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1であることを示せ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha, \beta, \gamma, q$ について、以下の条件が与えられている。

$\alpha + \beta + \gamma = 3$ (1)

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 1 + 2q$ (2)

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2} = 1 - 2q + 4q^2$ (3)

このとき、以下の問いに答える。

(1) (2)と(3)を利用して、$\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha}$ を $q$ を用いて表せ。

(2) $\alpha \beta \gamma$ と $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$ を $q$ を用いて表せ。

(3) $\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma})^2 = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2} + 2(\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha})$ を利用する。

(2)より、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 1 + 2q$ なので、$(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma})^2 = (1 + 2q)^2 = 1 + 4q + 4q^2$

(3)より、$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2} = 1 - 2q + 4q^2$

よって、$1 + 4q + 4q^2 = 1 - 2q + 4q^2 + 2(\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha})$

$2(\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha}) = 6q$

$\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha} = 3q$

(2)

$\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha} = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{\alpha \beta \gamma}$ なので、$\frac{\alpha + \beta + \gamma}{\alpha \beta \gamma} = 3q$

(1)より、$\alpha + \beta + \gamma = 3$ なので、$\frac{3}{\alpha \beta \gamma} = 3q$

$\alpha \beta \gamma = \frac{1}{q}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}$ なので、$\frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = 1 + 2q$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (1 + 2q)\alpha \beta \gamma = (1 + 2q) \frac{1}{q} = \frac{1 + 2q}{q} = \frac{1}{q} + 2$

(3)

解と係数の関係より、$\alpha, \beta, \gamma$ は $x$ の3次方程式 $x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma = 0$ の解である。

よって、$x^3 - 3x^2 + (\frac{1}{q} + 2)x - \frac{1}{q} = 0$

$qx^3 - 3qx^2 + (1 + 2q)x - 1 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$q - 3q + 1 + 2q - 1 = 0$ が成り立つ。

したがって、 $x = 1$ はこの方程式の解である。

つまり、$\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha} = 3q$

(2) $\alpha \beta \gamma = \frac{1}{q}$, $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{1}{q} + 2$

(3) $\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1である。