与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の6つの式を因数分解します。 (1) $(5x+2)^2 + 7(5x+2) - 18$ (2) $(a+5)^2 - (b-1)^2$ (3) $a(x-y) - bx + by$ (4) $ap + 3p + a + 3$ (5) $3a^2 - 2ab + 15a - 10b$ (6) $x^2 - 6xy + 9y^2 - 2x + 6y - 15$

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の6つの式を因数分解します。

(1) $(5x+2)^2 + 7(5x+2) - 18$

(2) $(a+5)^2 - (b-1)^2$

(3) $a(x-y) - bx + by$

(4) $ap + 3p + a + 3$

(5) $3a^2 - 2ab + 15a - 10b$

(6) $x^2 - 6xy + 9y^2 - 2x + 6y - 15$

2. 解き方の手順

(1) $(5x+2)^2 + 7(5x+2) - 18$

$5x+2 = M$ とおくと、

$M^2 + 7M - 18$

$(M+9)(M-2)$

ここで、$M$ を $5x+2$ に戻すと、

$(5x+2+9)(5x+2-2) = (5x+11)(5x) = 5x(5x+11)$

(2) $(a+5)^2 - (b-1)^2$

これは二乗の差の形なので、

$\{(a+5) + (b-1)\}\{(a+5) - (b-1)\} = (a+b+4)(a-b+6)$

(3) $a(x-y) - bx + by = a(x-y) - b(x-y) = (a-b)(x-y)$

(4) $ap + 3p + a + 3 = p(a+3) + (a+3) = (p+1)(a+3) = (a+3)(p+1)$

(5) $3a^2 - 2ab + 15a - 10b = a(3a-2b) + 5(3a-2b) = (a+5)(3a-2b)$

(6) $x^2 - 6xy + 9y^2 - 2x + 6y - 15 = (x-3y)^2 - 2(x-3y) - 15$

ここで、$x-3y = M$ とおくと、

$M^2 - 2M - 15 = (M-5)(M+3)$

$M$ を $x-3y$ に戻すと、

$(x-3y-5)(x-3y+3)$

3. 最終的な答え

(1) $5x(5x+11)$

(2) $(a+b+4)(a-b+6)$

(3) $(a-b)(x-y)$

(4) $(a+3)(p+1)$

(5) $(a+5)(3a-2b)$

(6) $(x-3y-5)(x-3y+3)$