レポート問題1とレポート問題2を解く。レポート問題1では、指定された対数と逆三角関数の値を求め、最も簡単な形で表現する。レポート問題2では、与えられたベクトル a と b の内積と外積を計算する。

1. 問題の内容

レポート問題1とレポート問題2を解く。レポート問題1では、指定された対数と逆三角関数の値を求め、最も簡単な形で表現する。レポート問題2では、与えられたベクトル a と b の内積と外積を計算する。

2. 解き方の手順

レポート問題1：

(0)

(i) $17^{\log_{17} 50}$：対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いる。したがって、$17^{\log_{17} 50} = 50$。

(ii) $\cos^{-1} 1$：$\cos \theta = 1$ となる $\theta$ を求める。$\theta = 0$。

(1)

(i) $13^{\log_{13} 51}$：対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いる。したがって、$13^{\log_{13} 51} = 51$。

(ii) $\cos^{-1} (-1)$：$\cos \theta = -1$ となる $\theta$ を求める。$\theta = \pi$ (または180度)。

(2)

(i) $11^{\log_{11} 52}$：対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いる。したがって、$11^{\log_{11} 52} = 52$。

(ii) $\sin^{-1} 1$：$\sin \theta = 1$ となる $\theta$ を求める。$\theta = \frac{\pi}{2}$ (または90度)。

(3)

(i) $7^{\log_7 53}$：対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いる。したがって、$7^{\log_7 53} = 53$。

(ii) $\tan^{-1} \sqrt{3}$：$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または60度)。

(4)

(i) $5^{\log_5 54}$：対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いる。したがって、$5^{\log_5 54} = 54$。

(ii) $\tan^{-1} 1$：$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を求める。$\theta = \frac{\pi}{4}$ (または45度)。

レポート問題2：

(0)

a = (4, -2, 1), b = (6, 0, -3)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(6) + (-2)(0) + (1)(-3) = 24 + 0 - 3 = 21$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 6 & 0 & -3 \end{vmatrix} = i((-2)(-3) - (1)(0)) - j((4)(-3) - (1)(6)) + k((4)(0) - (-2)(6)) = i(6 - 0) - j(-12 - 6) + k(0 + 12) = 6i + 18j + 12k = (6, 18, 12)$

(1)

a = (4, -2, 1), b = (6, 1, 0)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(6) + (-2)(1) + (1)(0) = 24 - 2 + 0 = 22$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 6 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i((-2)(0) - (1)(1)) - j((4)(0) - (1)(6)) + k((4)(1) - (-2)(6)) = i(0 - 1) - j(0 - 6) + k(4 + 12) = -1i + 6j + 16k = (-1, 6, 16)$

(2)

a = (4, -2, 1), b = (5, -1, 1)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(1) = 20 + 2 + 1 = 23$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i((-2)(1) - (1)(-1)) - j((4)(1) - (1)(5)) + k((4)(-1) - (-2)(5)) = i(-2 + 1) - j(4 - 5) + k(-4 + 10) = -1i + 1j + 6k = (-1, 1, 6)$

(3)

a = (4, -2, 1), b = (5, -1, 2)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(2) = 20 + 2 + 2 = 24$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = i((-2)(2) - (1)(-1)) - j((4)(2) - (1)(5)) + k((4)(-1) - (-2)(5)) = i(-4 + 1) - j(8 - 5) + k(-4 + 10) = -3i - 3j + 6k = (-3, -3, 6)$

(4)

a = (4, -2, 1), b = (7, 0, -3)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(7) + (-2)(0) + (1)(-3) = 28 + 0 - 3 = 25$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 7 & 0 & -3 \end{vmatrix} = i((-2)(-3) - (1)(0)) - j((4)(-3) - (1)(7)) + k((4)(0) - (-2)(7)) = i(6 - 0) - j(-12 - 7) + k(0 + 14) = 6i + 19j + 14k = (6, 19, 14)$

(5)

a = (4, -2, 1), b = (6, -1, 0)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(6) + (-2)(-1) + (1)(0) = 24 + 2 + 0 = 26$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \end{vmatrix} = i((-2)(0) - (1)(-1)) - j((4)(0) - (1)(6)) + k((4)(-1) - (-2)(6)) = i(0 + 1) - j(0 - 6) + k(-4 + 12) = 1i + 6j + 8k = (1, 6, 8)$

(6)

a = (4, -2, 1), b = (5, -2, 3)

(i) 内積 a・b：

$a \cdot b = (4)(5) + (-2)(-2) + (1)(3) = 20 + 4 + 3 = 27$

(ii) 外積 a x b：

$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 1 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} = i((-2)(3) - (1)(-2)) - j((4)(3) - (1)(5)) + k((4)(-2) - (-2)(5)) = i(-6 + 2) - j(12 - 5) + k(-8 + 10) = -4i - 7j + 2k = (-4, -7, 2)$

3. 最終的な答え

レポート問題1：

(0). (i) 50, (ii) 0

(1). (i) 51, (ii) $\pi$

(2). (i) 52, (ii) $\frac{\pi}{2}$

(3). (i) 53, (ii) $\frac{\pi}{3}$

(4). (i) 54, (ii) $\frac{\pi}{4}$

レポート問題2：

(0). (i) 21, (ii) (6, 18, 12)

(1). (i) 22, (ii) (-1, 6, 16)

(2). (i) 23, (ii) (-1, 1, 6)

(3). (i) 24, (ii) (-3, -3, 6)

(4). (i) 25, (ii) (6, 19, 14)

(5). (i) 26, (ii) (1, 6, 8)

(6). (i) 27, (ii) (-4, -7, 2)