複素数 $z_n = (\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i)^n$ ($n=1,2,3,\dots$)について、以下の問いに答えます。ただし、$i$は虚数単位とします。 (1) $|z_1|$ を求めます。 (2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。 (3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

1. 問題の内容

複素数 $z_n = (\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i)^n$ ($n=1,2,3,\dots$)について、以下の問いに答えます。ただし、$i$は虚数単位とします。

(1) $|z_1|$ を求めます。

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

2. 解き方の手順

(1) $z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$ なので、

$|z_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{4} + \frac{3+2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

(2) $z_2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i)^2$ なので、

$z_2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2 + 2(\frac{\sqrt{3}-1}{2})(\frac{\sqrt{3}+1}{2})i = \frac{3-2\sqrt{3}+1 - (3+2\sqrt{3}+1)}{4} + 2(\frac{3-1}{4})i = \frac{-4\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4}i = -\sqrt{3} + i$

$|z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\arg z_2 = \theta$ とすると、$\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

(3) $z_n = (\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i)^n$ を極形式で表します。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$ の絶対値は$\sqrt{2}$であり、偏角を$\alpha$とすると、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$となります。これは $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ に相当します。

したがって、$z_n = (\sqrt{2})^n (\cos(\frac{5n\pi}{12}) + i\sin(\frac{5n\pi}{12}))$

$z_n$ の実部 $x_n$ は $(\sqrt{2})^n \cos(\frac{5n\pi}{12})$となります。

3. 最終的な答え

(1) $|z_1| = \sqrt{2}$

(2) $|z_2| = 2$, $\arg z_2 = \frac{5}{6}\pi$

(3) $x_n = (\sqrt{2})^n \cos(\frac{5}{12}n\pi)$