不等式 $|2x-1| < 3x+2$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|2x-1| < 3x+2$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。

(i) $2x-1 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき、 $|2x-1| = 2x-1$ となります。

このとき、不等式は

$2x-1 < 3x+2$

$2x - 3x < 2+1$

$-x < 3$

$x > -3$

となります。$x \geq \frac{1}{2}$ という条件と $x > -3$ という条件の両方を満たすのは、$x \geq \frac{1}{2}$ です。

(ii) $2x-1 < 0$、つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、 $|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$ となります。

このとき、不等式は

$-2x+1 < 3x+2$

$-2x - 3x < 2 - 1$

$-5x < 1$

$x > -\frac{1}{5}$

となります。$x < \frac{1}{2}$ という条件と $x > -\frac{1}{5}$ という条件の両方を満たすのは、$-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$ です。

(i) と (ii) の結果を合わせると、$x \geq \frac{1}{2}$ または $-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$ となり、これらを合わせると、$x > -\frac{1}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$x > -\frac{1}{5}$