AとBが的当てゲームを行い、中心の黒い部分に当たると5点、白い部分に当たると1点加算される。Aは5点の部分と1点の部分に当てた本数が同じであり、AはBよりも3回多く的に当てた。AとBが的に当てた合計本数は10本以上15本以下であり、AとBの合計得点差は5点以下でAが勝ったとき、Bが5点の部分に当てた本数はいくつか。

1. 問題の内容

AとBが的当てゲームを行い、中心の黒い部分に当たると5点、白い部分に当たると1点加算される。Aは5点の部分と1点の部分に当てた本数が同じであり、AはBよりも3回多く的に当てた。AとBが的に当てた合計本数は10本以上15本以下であり、AとBの合計得点差は5点以下でAが勝ったとき、Bが5点の部分に当てた本数はいくつか。

2. 解き方の手順

まず、変数を定義します。

- Aが5点の部分に当てた本数を $x$

- Aが1点の部分に当てた本数を $x$

- Bが5点の部分に当てた本数を $y$

- Bが1点の部分に当てた本数を $z$

すると、AとBが的に当てた合計本数は $2x + y + z$ と表せる。

$10 \le 2x + y + z \le 15$ という条件が与えられています。

AはBよりも3回多く的に当てたので、$2x = y + z + 3$

これを $10 \le 2x + y + z \le 15$ に代入すると、

$10 \le 2x + 2x - 3 \le 15$

$10 \le 4x - 3 \le 15$

$13 \le 4x \le 18$

$3.25 \le x \le 4.5$

$x$は整数なので、$x = 4$ となります。

すると、$2x = 8 = y + z + 3$ より $y + z = 5$

また、$2x + y + z = 8 + 5 = 13$

Aの得点は $5x + x = 6x = 6 * 4 = 24$

Bの得点は $5y + z$ であり、$y + z = 5$ を満たす整数 $y, z$ について $5y + z$ を考えます。

AとBの合計得点差は5点以下であり、Aが勝ったので、$24 - (5y + z) \le 5$

$19 \le 5y + z$

$z = 5 - y$ を代入すると、$19 \le 5y + 5 - y$

$14 \le 4y$

$3.5 \le y$

$y$ は整数なので、$y \ge 4$

$y + z = 5$ であり、$y \ge 4$ より、$y=4$ または $y=5$ です。

- $y = 4$ のとき、$z = 1$。Bの得点は $5 * 4 + 1 = 21$。得点差は $24 - 21 = 3 \le 5$ で条件を満たす。

- $y = 5$ のとき、$z = 0$。Bの得点は $5 * 5 + 0 = 25$。得点差は $24 - 25 = -1 \le 5$ だがAが負けているので条件を満たさない。

したがって、$y = 4$

3. 最終的な答え

Bが5点の部分に当てた本数は4本