与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $6a^3b^2$ と $4a^2bc$

まず、それぞれの式を素因数分解します。

$6a^3b^2 = 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot b^2$

$4a^2bc = 2^2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c$

最大公約数(GCD)は、共通する素因数の最小の指数を取ります。

GCD: $2 \cdot a^2 \cdot b = 2a^2b$

最小公倍数(LCM)は、すべての素因数の最大の指数を取ります。

LCM: $2^2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot c = 12a^3b^2c$

(2) $x^2-1$ と $x^3+1$

それぞれの式を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

GCD: $x+1$

LCM: $(x-1)(x+1)(x^2 - x + 1) = (x^2 - 1)(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2 - x^2 + x - 1 = x^4 - x^3 + x - 1$

(3) $15x^2 - x - 2$ と $10x^2 + x - 2$

それぞれの式を因数分解します。

$15x^2 - x - 2 = (3x + 1)(5x - 2)$

$10x^2 + x - 2 = (2x - 1)(5x + 2)$

共通因数がないため、GCD: 1

LCM: $(3x + 1)(5x - 2)(2x - 1)(5x + 2) = (15x^2 - x - 2)(10x^2 + x - 2) = 150x^4 + 15x^3 - 30x^2 - 10x^3 - x^2 + 2x - 30x^2 - 3x + 6 = 150x^4 + 5x^3 - 61x^2 - x + 6$

(4) $x^3 - 1$ と $x^4 + x^2 + 1$

それぞれの式を因数分解します。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

GCD: $x^2 + x + 1$

LCM: $(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = (x^3 - 1)(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - x^3 + 1 = x^5 - x^4 - x^2 + x + 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数: $2a^2b$, 最小公倍数: $12a^3b^2c$

(2) 最大公約数: $x+1$, 最小公倍数: $x^4 - x^3 + x - 1$

(3) 最大公約数: 1, 最小公倍数: $(3x+1)(5x-2)(2x-1)(5x+2) = 150x^4 + 5x^3 - 61x^2 - x + 6$

(4) 最大公約数: $x^2+x+1$, 最小公倍数: $x^5 - x^4 - x^2 + x + 1$