与えられた3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解き、$8$ の3乗根を求める。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解き、$8$ の3乗根を求める。

2. 解き方の手順

まず、3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解く。

これは $x^3 = -8$ と書き換えられる。

$x^3 = (-2)^3$ であることに注目する。

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ なので、和の3乗の公式

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いる。

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ である。

$x+2 = 0$ より $x = -2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ について、解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$ が $x^3 + 8 = 0$ の解である。

次に、$8$ の3乗根を求める。

$y^3 = 8$ を解く。

これは $y^3 - 8 = 0$ と書き換えられる。

$y^3 - 8 = y^3 - 2^3$ なので、差の3乗の公式

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いる。

$y^3 - 2^3 = (y-2)(y^2 + 2y + 4) = 0$

したがって、$y-2 = 0$ または $y^2 + 2y + 4 = 0$ である。

$y-2 = 0$ より $y = 2$

$y^2 + 2y + 4 = 0$ について、解の公式を用いる。

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$y = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ が $8$ の3乗根である。

3. 最終的な答え

$x^3 + 8 = 0$ の解: $x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$

$8$ の3乗根: $2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$