与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

はい、承知いたしました。画像にある問題について、行列の固有値と固有ベクトルを求める問題を解きます。ここでは、(1)の行列についてのみ解きます。

1. 問題の内容

与えられた行列

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式を立てる。固有値$\lambda$を求めるために、以下の式を解く。

$\det(A - \lambda I) = 0$

ここで、$I$は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & 1 \\ 3 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

(2) 行列式の計算を行う。

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((5-\lambda)(1-\lambda) - 1) - 1(1-\lambda - 3) + 3(1 - 3(5-\lambda))$

$= (1-\lambda)(5 - 6\lambda + \lambda^2 - 1) - ( -2 -\lambda) + 3(1 - 15 + 3\lambda)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 4) + 2 + \lambda + 3(-14 + 3\lambda)$

$= \lambda^2 - 6\lambda + 4 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + 2 + \lambda - 42 + 9\lambda$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 6\lambda - 36$

固有方程式は $-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 6\lambda - 36 = 0$　である。

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 6\lambda + 36 = 0$

(3) 固有値を求める。

上記の3次方程式を解く。因数定理を用いると、$\lambda = 6$が解であることがわかる。

$(\lambda - 6)(\lambda^2 - \lambda - 6) = 0$

$(\lambda - 6)(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は$\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = -2$である。

(4) 固有ベクトルを求める。

各固有値に対して、$(A - \lambda I)v = 0$を満たす固有ベクトル$v$を求める。

(i) $\lambda_1 = 6$の場合：

$\begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解くと、$x = z, y = 2x$となる。よって、固有ベクトルは$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)である。

(ii) $\lambda_2 = 3$の場合：

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解くと、$x=-z, y = -z$となる。よって、固有ベクトルは$v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)である。

(iii) $\lambda_3 = -2$の場合：

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解くと、$x = -z, y=0$となる。よって、固有ベクトルは$v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)である。

3. 最終的な答え

固有値：$\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = -2$

固有ベクトル：$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$