与えられた3つの複素数のべき乗の値を求める問題です。 (1) $(1+i)^8$ (2) $(\sqrt{3}-i)^{10}$ (3) $(1-i)^{-6}$

1. 問題の内容

与えられた3つの複素数のべき乗の値を求める問題です。

(1) $(1+i)^8$

(2) $(\sqrt{3}-i)^{10}$

(3) $(1-i)^{-6}$

2. 解き方の手順

複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理を用いて計算します。

(1) $(1+i)^8$ の場合：

$1+i$ を極形式で表すと、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan{\frac{1}{1}} = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$1+i = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})$

ド・モアブルの定理より、

$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8(\cos{\frac{8\pi}{4}} + i\sin{\frac{8\pi}{4}}) = 2^4(\cos{2\pi} + i\sin{2\pi}) = 16(1 + 0i) = 16$

(2) $(\sqrt{3}-i)^{10}$ の場合：

$\sqrt{3}-i$ を極形式で表すと、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\theta = \arctan{\frac{-1}{\sqrt{3}}} = -\frac{\pi}{6}$

したがって、

$\sqrt{3}-i = 2(\cos{(-\frac{\pi}{6})} + i\sin{(-\frac{\pi}{6})})$

ド・モアブルの定理より、

$(\sqrt{3}-i)^{10} = 2^{10}(\cos{(-\frac{10\pi}{6})} + i\sin{(-\frac{10\pi}{6})}) = 1024(\cos{(-\frac{5\pi}{3})} + i\sin{(-\frac{5\pi}{3})}) = 1024(\cos{(\frac{\pi}{3})} + i\sin{(\frac{\pi}{3})}) = 1024(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 + 512\sqrt{3}i$

(3) $(1-i)^{-6}$ の場合：

$1-i$ を極形式で表すと、

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan{\frac{-1}{1}} = -\frac{\pi}{4}$

したがって、

$1-i = \sqrt{2}(\cos{(-\frac{\pi}{4})} + i\sin{(-\frac{\pi}{4})})$

ド・モアブルの定理より、

$(1-i)^{-6} = (\sqrt{2})^{-6}(\cos{(-\frac{-6\pi}{4})} + i\sin{(-\frac{-6\pi}{4})}) = 2^{-3}(\cos{(\frac{3\pi}{2})} + i\sin{(\frac{3\pi}{2})}) = \frac{1}{8}(0 - i) = -\frac{1}{8}i$

3. 最終的な答え

(1) $(1+i)^8 = 16$

(2) $(\sqrt{3}-i)^{10} = 512 + 512\sqrt{3}i$

(3) $(1-i)^{-6} = -\frac{1}{8}i$