ある高校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か？

1. 問題の内容

ある高校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か？

2. 解き方の手順

長椅子の数を $x$ 脚とする。

* 6人ずつ座る場合、座れる人数は $6x$ 人で、15人が座れないので、生徒の人数は $6x + 15$ 人となる。

* 7人ずつ座る場合、使わない長椅子が3脚できるので、生徒が座っている長椅子は最大で $x-3$ 脚、最小で $x-4$ 脚と考えることができる。

* 最大の場合: すべての長椅子に7人が座っているわけではなく、$x-3$ 脚に7人が座り、残りの長椅子には誰も座っていない状態。

* 最小の場合: $x-4$脚には7人ずつ座り、残りの1脚には誰も座っていないか、少なくとも1人以上座っている状態。

このとき、生徒の数は $7(x-4) + 1 \leq 6x + 15 \leq 7(x-3)$ と表せる。

まず、$6x + 15 \leq 7(x-3)$ を解く。

$6x + 15 \leq 7x - 21$

$36 \leq x$

次に、$7(x-4) + 1 \leq 6x + 15$ を解く。

$7x - 28 + 1 \leq 6x + 15$

$7x - 27 \leq 6x + 15$

$x \leq 42$

したがって、$36 \leq x \leq 42$ となる。

3. 最終的な答え

長椅子の数は36脚以上42脚以下である。