与えられた行列の逆行列を求める問題です。 行列は $ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

1 & -1 & -1 \\

-1 & 1 & 5

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めるには、次の手順を使用します。

(1) 行列 $A$ と単位行列 $I$ を並べて拡大行列 $[A|I]$ を作成します。

(2) 拡大行列 $[A|I]$ に行基本変形を施し、左側が単位行列になるように変形します。

(3) 変形後の拡大行列 $[I|A^{-1}]$ の右側が逆行列 $A^{-1}$ となります。

与えられた行列

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

1 & -1 & -1 \\

-1 & 1 & 5

\end{pmatrix}

$$

に対して、拡大行列は

$$

[A|I] = \begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\

1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\

-1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

となります。

以下、行基本変形を行います。

2行目から1行目を引く:

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

-1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

3行目に1行目を足す:

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目を引く:

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

3行目が $0 = 2 - 1 + 1 = 2$ となり、矛盾するため、逆行列は存在しません。

3. 最終的な答え

逆行列は存在しない。