関数 $y = x^2 + 1$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフを表す式を求め、グラフを描き、グラフには軸との主要な交点や頂点を示す。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 1$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフを表す式を求め、グラフを描き、グラフには軸との主要な交点や頂点を示す。

2. 解き方の手順

* 平行移動

$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動するには、$x$ を $x + 1$ に、$y$ を $y - 3$ に置き換えます。

$y - 3 = (x + 1)^2 + 1$

これを $y$ について解くと、

$y = (x + 1)^2 + 1 + 3$

$y = (x + 1)^2 + 4$

* グラフの頂点

このグラフは $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動したものであるため、頂点は $(-1, 4)$ となります。

* $y$ 軸との交点

$y$ 軸との交点を求めるには、$x = 0$ を代入します。

$y = (0 + 1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5$

したがって、$y$ 軸との交点は $(0, 5)$ です。

* $x$ 軸との交点

$x$ 軸との交点を求めるには、$y = 0$ を代入します。

$0 = (x + 1)^2 + 4$

$(x + 1)^2 = -4$

実数解は存在しないので、$x$ 軸との交点はありません。

3. 最終的な答え

平行移動後のグラフを表す式は、$y = (x + 1)^2 + 4$ です。

グラフの頂点は $(-1, 4)$ です。

$y$ 軸との交点は $(0, 5)$ です。

$x$ 軸との交点はありません。