ある催し物の出席者用に6人掛けの長椅子と4人掛けの長椅子を合わせて21脚用意した。 ・6人掛けの長椅子だけで6人ずつ着席させると、36人以上の出席者が着席できなかった。 ・6人掛けの長椅子に5人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、12人以上の出席者が着席できなかった。 ・6人掛けの長椅子に6人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、出席者全員が着席でき、席の余りもなかった。 このとき、出席者の人数を求める。

1. 問題の内容

ある催し物の出席者用に6人掛けの長椅子と4人掛けの長椅子を合わせて21脚用意した。

・6人掛けの長椅子だけで6人ずつ着席させると、36人以上の出席者が着席できなかった。

・6人掛けの長椅子に5人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、12人以上の出席者が着席できなかった。

・6人掛けの長椅子に6人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、出席者全員が着席でき、席の余りもなかった。

このとき、出席者の人数を求める。

2. 解き方の手順

6人掛けの長椅子の数を $x$ 、4人掛けの長椅子の数を $y$ とおく。

椅子の合計数に関する条件より、

$x + y = 21$

したがって、$y = 21 - x$

出席者の人数を $N$ とおく。

条件１より、6人掛けの長椅子に6人ずつ着席させると、36人以上の出席者が着席できなかったので、

$6x < N - 36$

$6x + 36 < N$

条件２より、6人掛けの長椅子に5人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、12人以上の出席者が着席できなかったので、

$5x + 4y < N - 12$

$5x + 4y + 12 < N$

$5x + 4(21 - x) + 12 < N$

$5x + 84 - 4x + 12 < N$

$x + 96 < N$

条件３より、6人掛けの長椅子に6人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、出席者全員が着席でき、席の余りもなかった。

$6x + 4y = N$

$6x + 4(21 - x) = N$

$6x + 84 - 4x = N$

$2x + 84 = N$

$6x + 36 < N$ に $N = 2x + 84$ を代入すると、

$6x + 36 < 2x + 84$

$4x < 48$

$x < 12$

$x + 96 < N$ に $N = 2x + 84$ を代入すると、

$x + 96 < 2x + 84$

$12 < x$

したがって、$x$ は $12 < x < 12$ を満たす必要があるので、これは矛盾する。

問題文を再度確認すると、条件1と条件2は「以上」に着席できなかった。つまり、

$6x < N-36$は、$6x \le N - 36$となり、$6x+36 \le N$である。同様に、$5x+4y<N-12$は、$5x+4y \le N - 12$となり、$5x+4y+12 \le N$である。

$6x + 36 \le N$ に $N = 2x + 84$ を代入すると、

$6x + 36 \le 2x + 84$

$4x \le 48$

$x \le 12$

$x + 96 \le N$ に $N = 2x + 84$ を代入すると、

$x + 96 \le 2x + 84$

$12 \le x$

したがって、$x = 12$ である。

$N = 2x + 84 = 2(12) + 84 = 24 + 84 = 108$

3. 最終的な答え

出席者の人数は108人