与えられた条件$p: x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 0$ と $q: x = y = z = 0$の関係性を考察する問題です。特に$p \implies q$が成り立つかを確認する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた条件$p: x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 0$ と $q: x = y = z = 0$の関係性を考察する問題です。特に$p \implies q$が成り立つかを確認する必要があります。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 0$を変形していきます。

両辺に2をかけると、

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = 0$

これは以下のように変形できます。

$(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2) + (z^2 + 2zx + x^2) = 0$

$(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 = 0$

ここで、$x, y, z$は実数であると仮定すると、 $(x+y)^2 \ge 0$, $(y+z)^2 \ge 0$, $(z+x)^2 \ge 0$です。

したがって、 $(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 = 0$ が成り立つためには、

$x+y = 0$

$y+z = 0$

$z+x = 0$

が同時に成立する必要があります。

$x+y = 0$より、$y = -x$

$y+z = 0$より、$z = -y = x$

$z+x = 0$より、$x+x = 2x = 0$, よって、$x=0$

$x=0$なので、$y = -x = 0$ かつ $z = x = 0$となります。

したがって、$x = y = z = 0$が結論付けられます。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx = 0$ならば、$x = y = z = 0$ が成り立ちます。