以下の6つの式を簡単にします。 (1) $\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27}$ (2) $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32}$ (3) $\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}}$ (4) $\log_2(4\sqrt{8})$ (5) $2^{-\log_2{3}} - \log_{16}{2}$ (6) $(\log_4{3} - \log_8{3})(\log_3{4} - \log_9{2})$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の6つの式を簡単にします。

(1) $\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27}$

(2) $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32}$

(3) $\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}}$

(4) $\log_2(4\sqrt{8})$

(5) $2^{-\log_2{3}} - \log_{16}{2}$

(6) $(\log_4{3} - \log_8{3})(\log_3{4} - \log_9{2})$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt[4]{81} = 3$

$\sqrt[3]{-27} = -3$

したがって、

$\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27} = 3 \div (-3) = -1$

(2)

$\sqrt[3]{-8} = -2$

$\sqrt[5]{32} = 2$

したがって、

$\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32} = -2 \times 2 = -4$

(3)

$\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \times 5^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{6}}} = 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}} = 5^{\frac{8 + 3 - 2}{12}} = 5^{\frac{9}{12}} = 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$

(4)

$\log_2(4\sqrt{8}) = \log_2(4 \times 8^{\frac{1}{2}}) = \log_2(2^2 \times (2^3)^{\frac{1}{2}}) = \log_2(2^2 \times 2^{\frac{3}{2}}) = \log_2(2^{2 + \frac{3}{2}}) = \log_2(2^{\frac{7}{2}}) = \frac{7}{2}$

(5)

$2^{-\log_2{3}} = \frac{1}{2^{\log_2{3}}} = \frac{1}{3}$

$\log_{16}{2} = \log_{2^4}{2} = \frac{1}{4}\log_2{2} = \frac{1}{4}$

したがって、

$2^{-\log_2{3}} - \log_{16}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$

(6)

$\log_4{3} = \frac{\log_2{3}}{\log_2{4}} = \frac{\log_2{3}}{2}$

$\log_8{3} = \frac{\log_2{3}}{\log_2{8}} = \frac{\log_2{3}}{3}$

$\log_3{4} = \frac{\log_3{2}}{\log_3{3}}=\frac{2}{\log_2{3}}$

$\log_9{2} = \frac{\log_3{2}}{\log_3{9}} = \frac{\log_3{2}}{2} = \frac{1}{2\log_2 3}$

$(\log_4{3} - \log_8{3}) = \frac{\log_2 3}{2} - \frac{\log_2 3}{3} = \frac{\log_2 3}{6}$

$(\log_3{4} - \log_9{2}) = \frac{2}{\log_2 3} - \frac{1}{2\log_2 3} = \frac{3}{2\log_2 3}$

$(\log_4{3} - \log_8{3})(\log_3{4} - \log_9{2}) = \frac{\log_2 3}{6} \times \frac{3}{2\log_2 3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) -4

(3) $\sqrt[4]{125}$

(4) $\frac{7}{2}$

(5) $\frac{1}{12}$

(6) $\frac{1}{4}$