与えられた2次関数の最大値・最小値を求めたり、頂点の座標と通る点から2次関数を決定したりする問題です。具体的には、以下の問題について解答します。 * 問題3: $y = -4x^2 + 8x + 2$ の $-2 \le x \le 0$ における最小値を求める。 * 問題4: $y = 2x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。 * 問題5: $y = -x^2 - 2x + 3$ の $0 \le x \le 3$ における最大値を求める。 * 問題6: $y = 2x^2 - 4x$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。 * 問題7: 頂点が(3,4)で点(4,0)を通る2次関数を求める。 * 問題8: $y = x^2 - 2x + 2$ の $0 \le x \le 3$ における最大値を求める。 * 問題9: $y = -x^2 - 2x + 2$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。 * 問題10: 軸が直線 $x = -1$ で2点(0, -3), (1, 3)を通る2次関数を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値・最小値を求めたり、頂点の座標と通る点から2次関数を決定したりする問題です。具体的には、以下の問題について解答します。

* 問題3: $y = -4x^2 + 8x + 2$ の $-2 \le x \le 0$ における最小値を求める。

* 問題4: $y = 2x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。

* 問題5: $y = -x^2 - 2x + 3$ の $0 \le x \le 3$ における最大値を求める。

* 問題6: $y = 2x^2 - 4x$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。

* 問題7: 頂点が(3,4)で点(4,0)を通る2次関数を求める。

* 問題8: $y = x^2 - 2x + 2$ の $0 \le x \le 3$ における最大値を求める。

* 問題9: $y = -x^2 - 2x + 2$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

* 問題10: 軸が直線 $x = -1$ で2点(0, -3), (1, 3)を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

* **問題3**: $y = -4x^2 + 8x + 2$

* 平方完成する: $y = -4(x^2 - 2x) + 2 = -4(x - 1)^2 + 4 + 2 = -4(x - 1)^2 + 6$

* 軸は $x = 1$ で上に凸なグラフ。定義域 $-2 \le x \le 0$ では、$x = -2$ で最小値をとる。

* $x = -2$ を代入: $y = -4(-2)^2 + 8(-2) + 2 = -16 - 16 + 2 = -30$

* **問題4**: $y = 2x^2 - 4x + 2$

* 平方完成する: $y = 2(x^2 - 2x) + 2 = 2(x - 1)^2 - 2 + 2 = 2(x - 1)^2$

* 軸は $x = 1$ で下に凸なグラフ。定義域 $-1 \le x \le 2$ では、$x = -1$ または $x = 2$ で最大値をとる。

* $x = -1$ を代入: $y = 2(-1)^2 - 4(-1) + 2 = 2 + 4 + 2 = 8$

* $x = 2$ を代入: $y = 2(2)^2 - 4(2) + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$

* よって、$x=-1$で最大値8

* **問題5**: $y = -x^2 - 2x + 3$

* 平方完成する: $y = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x + 1)^2 + 1 + 3 = -(x + 1)^2 + 4$

* 軸は $x = -1$ で上に凸なグラフ。定義域 $0 \le x \le 3$ では、$x = 0$ で最大値をとる。

* $x=0$ を代入: $y = -(0+1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$

* **問題6**: $y = 2x^2 - 4x$

* 平方完成する: $y = 2(x^2 - 2x) = 2(x - 1)^2 - 2$

* 軸は $x = 1$ で下に凸なグラフ。定義域 $-1 \le x \le 2$ では、$x = -1$ で最大値をとる。

* $x=-1$ を代入: $y = 2(-1)^2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$

* **問題7**: 頂点が(3,4)なので、$y = a(x - 3)^2 + 4$ とおける。

* (4,0)を通るので、$0 = a(4 - 3)^2 + 4$ より $a = -4$

* よって、$y = -4(x - 3)^2 + 4$

* **問題8**: $y = x^2 - 2x + 2$

* 平方完成する: $y = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

* 軸は $x = 1$ で下に凸なグラフ。定義域 $0 \le x \le 3$ では、$x = 3$ で最大値をとる。

* $x=3$ を代入: $y = (3-1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

* **問題9**: $y = -x^2 - 2x + 2$

* 平方完成する: $y = -(x^2 + 2x) + 2 = -(x + 1)^2 + 1 + 2 = -(x + 1)^2 + 3$

* 軸は $x = -1$ で上に凸なグラフ。定義域 $0 \le x \le 2$ では、$x = 0$ で最小値をとる。

* $x=0$ を代入: $y = -(0+1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$ が最小値？軸が範囲外なのでx=0, x=2を代入して比較

* x=0のときy=2, x=2のときy=-6, 範囲内の軸x=0から遠いx=2が最小値を与える。 x=2, y=-6

* **問題10**: 軸が $x = -1$ なので、$y = a(x + 1)^2 + q$ とおける。

* (0, -3)を通るので、$-3 = a(0 + 1)^2 + q$ より $a + q = -3$

* (1, 3)を通るので、$3 = a(1 + 1)^2 + q$ より $4a + q = 3$

* 連立方程式を解く: $3a = 6$ より $a = 2$, $q = -5$

* よって、$y = 2(x + 1)^2 - 5$

3. 最終的な答え

* 問題3: $x = -2$ で最小値 $-30$

* 問題4: $x = -1$ で最大値 $8$

* 問題5: $x = 0$ で最大値 $3$

* 問題6: $x = -1$ で最大値 $6$

* 問題7: $y = -4(x - 3)^2 + 4$

* 問題8: $x = 3$ で最大値 $5$

* 問題9: $x = 2$ で最小値 $-6$

* 問題10: $y = 2(x + 1)^2 - 5$