一辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。底面の正方形の一辺の長さが6cm以上で、側面の4個の長方形の面積の和が40cm²以上になるとき、切り取る正方形の一辺の長さをどのような範囲にすればよいか。

1. 問題の内容

一辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。底面の正方形の一辺の長さが6cm以上で、側面の4個の長方形の面積の和が40cm²以上になるとき、切り取る正方形の一辺の長さをどのような範囲にすればよいか。

2. 解き方の手順

切り取る正方形の一辺の長さを $x$ cmとする。

* 底面の正方形の一辺の長さは $12 - 2x$ cmである。問題文より、$12 - 2x \ge 6$ が成り立つ。

これを解くと、

$12 - 2x \ge 6$

$-2x \ge -6$

$x \le 3$

* 側面の4個の長方形の面積の和は $4x(12 - 2x)$ cm²である。問題文より、$4x(12 - 2x) \ge 40$ が成り立つ。

これを解くと、

$4x(12 - 2x) \ge 40$

$48x - 8x^2 \ge 40$

$-8x^2 + 48x - 40 \ge 0$

$8x^2 - 48x + 40 \le 0$

$x^2 - 6x + 5 \le 0$

$(x - 1)(x - 5) \le 0$

$1 \le x \le 5$

* $x$ は正の数であり、$x \le 3$ かつ $1 \le x \le 5$を満たす必要があるので、$1 \le x \le 3$ が求める範囲である。

3. 最終的な答え

切り取る正方形の一辺の長さは1cm以上3cm以下であればよい。