与えられた2次式 $3x^2 - xy - 10y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $3x^2 - xy - 10y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この2次式は、たすき掛けを使って因数分解できます。

まず、$3x^2$ の係数である3を2つの整数の積で表します。この場合は $3 = 3 \times 1$ となります。

次に、$-10y^2$ の係数である-10を2つの整数の積で表します。ここではいくつかの可能性があるので、試行錯誤が必要です。例えば、$-10 = -5 \times 2$ や $-10 = 5 \times -2$ が考えられます。

$3x^2 - xy - 10y^2 = (ax+by)(cx+dy)$ と仮定します。

ここで、

$ac = 3$

$bd = -10$

$ad + bc = -1$

となるような $a, b, c, d$ を探します。

$a = 3, c = 1$ とすると、

$3d + b = -1$

$bd = -10$

ここで、$b = -5, d = 2$ とすると、

$3(2) + (-5) = 6 - 5 = 1 \neq -1$

$b = 5, d = -2$ とすると、

$3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1$

$bd = 5(-2) = -10$

よって、$3x^2 - xy - 10y^2 = (3x+5y)(x-2y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3x+5y)(x-2y)$