次の2つの問題に答えます。 (1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求めます。 (2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が-7であるとき、定数 $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

次の2つの問題に答えます。

(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求めます。

(2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が-7であるとき、定数 $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x + c$ を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 1 + c$

これは、頂点が $(1, -1+c)$ の下に凸の放物線です。定義域 $-2 \le x \le 0$ における最大値を考えます。軸 $x=1$ は定義域に含まれていないので、定義域の端点で最大値をとります。$x=-2$ のとき $y = (-2)^2 - 2(-2) + c = 4 + 4 + c = 8+c$ であり、$x=0$ のとき $y = 0^2 - 2(0) + c = c$ です。$x=-2$ の方が軸から遠いので、$x=-2$ で最大値をとります。したがって、 $8+c=5$ より、$c = 5-8 = -3$ となります。

(2)

$y = -x^2 + 6x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

これは、頂点が $(3, 9+c)$ の上に凸の放物線です。定義域 $1 \le x \le 4$ における最小値を考えます。軸 $x=3$ は定義域に含まれているので、頂点で最大値をとり、最小値は定義域の端点 $x=1$ または $x=4$ でとります。$x=1$ のとき $y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$ であり、$x=4$ のとき $y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c$ です。したがって、$x=1$ で最小値をとります。

$5+c = -7$ より $c = -7 - 5 = -12$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $c = -3$

(2) $c = -12$