3つの行列 $A$, $B$, $C$ があり、$B$ と $C$ が正則であるとき、$ABC = 0$ ならば $A = 0$ であることを証明する。

1. 問題の内容

3つの行列 $A$, $B$, $C$ があり、$B$ と $C$ が正則であるとき、$ABC = 0$ ならば $A = 0$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

$B$ と $C$ が正則であることから、それぞれ逆行列 $B^{-1}$ と $C^{-1}$ が存在する。

与えられた条件 $ABC = 0$ の両辺に、右から $C^{-1}$ を掛ける。

$(ABC)C^{-1} = 0C^{-1}$

行列の結合法則より、

$A(BC)C^{-1} = 0$

$A(B(CC^{-1})) = 0$

$A(BI) = 0$

$AB = 0$

さらに、両辺に左から $B^{-1}$ を掛ける。

$B^{-1}(AB) = B^{-1}0$

行列の結合法則より、

$(B^{-1}A)B = 0$

$(B^{-1}A)B = B^{-1}0$

$(B^{-1}A)B = 0$

$(B^{-1}B)A = 0$

$IA = 0$

$A = 0$

したがって、$ABC = 0$ ならば $A = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$A = 0$ が証明されました。