複素数ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{-1} \\ 2 \\ -2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3-2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2+\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ が与えられている。$\mathbf{a}$ の第1成分と $(1-\sqrt{-1})\mathbf{b}$ の第3成分の和を求める。

1. 問題の内容

複素数ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{-1} \\ 2 \\ -2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3-2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2+\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ が与えられている。$\mathbf{a}$ の第1成分と $(1-\sqrt{-1})\mathbf{b}$ の第3成分の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{a}$ の第1成分は $1 + \sqrt{-1}$ である。

次に、$(1-\sqrt{-1})\mathbf{b}$ の第3成分を計算する。$\mathbf{b}$ の第3成分は $2 + \sqrt{-1}$ なので、

$$(1-\sqrt{-1})(2+\sqrt{-1}) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot \sqrt{-1} - \sqrt{-1} \cdot 2 - \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = 2 + \sqrt{-1} - 2\sqrt{-1} - (-1) = 2 - \sqrt{-1} + 1 = 3 - \sqrt{-1}$$

したがって、$(1-\sqrt{-1})\mathbf{b}$ の第3成分は $3 - \sqrt{-1}$ である。

最後に、$\mathbf{a}$ の第1成分と $(1-\sqrt{-1})\mathbf{b}$ の第3成分の和を計算する。

$$(1 + \sqrt{-1}) + (3 - \sqrt{-1}) = 1 + \sqrt{-1} + 3 - \sqrt{-1} = 4$$

3. 最終的な答え

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