問題は、与えられた数列の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求めるというものです。具体的には、以下の2つの数列について、$a_n$ を求めます。 (1) 1, 2, 4, 7, 11, ... (2) 2, 3, 5, 9, 17, ...

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求めるというものです。具体的には、以下の2つの数列について、$a_n$ を求めます。

(1) 1, 2, 4, 7, 11, ...

(2) 2, 3, 5, 9, 17, ...

2. 解き方の手順

(1)の数列について：

数列の差を取ると、1, 2, 3, 4, ... となります。これは等差数列であり、一般項は $b_n = n$ と表されます。

元の数列の一般項 $a_n$ は、階差数列の和として表されます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1 - 1 + 2}{2} = 1$ なので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

(2)の数列について：

数列の差を取ると、1, 2, 4, 8, ... となります。これは等比数列であり、一般項は $b_n = 2^{n-1}$ と表されます。

元の数列の一般項 $a_n$ は、階差数列の和として表されます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^{k}$

$a_n = 2 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1}$

$a_n = 2 + 2^{n-1} - 1$

$a_n = 2^{n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 1 + 1 = 2$ なので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

(2) $a_n = 2^{n-1} + 1$