問題1は、与えられた2つの数のうち、どちらが大きいかを判断する問題です。 問題2は、(1)対数方程式 $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) = 1$ を解く問題と、(2)対数不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) \le 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた2つの数のうち、どちらが大きいかを判断する問題です。

問題2は、(1)対数方程式 $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) = 1$ を解く問題と、(2)対数不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) \le 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 3 と $\log_2 9$ を比較します。$\log_2 9$ は $\log_2 8 = 3$ より大きく、$\log_2 16 = 4$ より小さいので、$3 < \log_2 9$ となります。したがって、$\log_2 9$ の方が大きいです。

(2) $(0.3)^2$ と $(0.3)^4$ を比較します。$0 < 0.3 < 1$ より、$(0.3)^2 > (0.3)^4$ となります。したがって、$(0.3)^2$ の方が大きいです。

(3) $3^{\frac{1}{4}}$ と $6^{\frac{1}{6}}$ を比較します。それぞれの6乗を計算すると、$(3^{\frac{1}{4}})^6 = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{3}$ と、$(6^{\frac{1}{6}})^6 = 6$ となります。$3\sqrt{3} = \sqrt{9\times 3} = \sqrt{27}$ より、$\sqrt{27} > \sqrt{36}=6$ です。したがって、$3\sqrt{3}>6$ となるので、$3^{\frac{1}{4}}>6^{\frac{1}{6}}$ となります。$3^{\frac{1}{4}}$ の方が大きいです。

問題2：

(1) $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) = 1$ を解きます。

$\log_{10}x(x+3) = 1$

$x(x+3) = 10^1 = 10$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

$(x+5)(x-2) = 0$

$x = -5$ または $x = 2$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x+3 > 0$ である必要があるので、$x > 0$ です。したがって、$x = 2$ が解となります。

(2) $\log_{10}x + \log_{10}(x+3) \le 1$ を解きます。

$\log_{10}x(x+3) \le 1$

$x(x+3) \le 10^1 = 10$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

$(x+5)(x-2) \le 0$

$-5 \le x \le 2$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x+3 > 0$ である必要があるので、$x > 0$ です。したがって、$0 < x \le 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 2

(2) 1

(3) 1

問題2：

(1) 2

(2) 0 < x <= 2

5: 0

6: 2