与えられた二次式 $x^2 + x - \frac{3}{4}$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $x^2 + x - \frac{3}{4}$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この二次式を因数分解するために、まず定数項 $-\frac{3}{4}$ を避けるために、式全体を4倍することを考えます。しかし、因数分解をすることで解を求めることが目的ではないので、そのまま因数分解を試みます。

二次方程式の解の公式を使って解を求め、因数分解の形に持ち込む方法を考えます。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。今回の二次式は $x^2 + x - \frac{3}{4}$ なので、$a=1$, $b=1$, $c = -\frac{3}{4}$ を代入します。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-\frac{3}{4})}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm 2}{2}$

したがって、解は $x = \frac{-1+2}{2} = \frac{1}{2}$ と $x = \frac{-1-2}{2} = -\frac{3}{2}$ です。

よって、因数分解された形は $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{3}{2})$ となります。もしくは、定数倍を考慮して $(2x - 1)(2x + 3)/4$ と表現することもできます。

3. 最終的な答え

$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{3}{2})$

あるいは、

$\frac{1}{4}(2x-1)(2x+3)$