$x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化し、$x$の値を求め、さらに $x$ の整数部分と小数部分を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化し、$x$の値を求め、さらに $x$ の整数部分と小数部分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

ステップ1：分母を $(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$ と見て、$(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

ステップ2：分母を計算します。

$(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{2}+2 - 3 = 2\sqrt{2}$

よって、

$x = \frac{4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{2(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}}$

ステップ3：さらに分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけます。

$x = \frac{2(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{2}(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}) = \sqrt{2}+2+\sqrt{6}$

ステップ4：$x$ の整数部分を求めます。

$\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{6} \approx 2.449$ なので、

$x \approx 1.414 + 2 + 2.449 = 5.863$

したがって、$x$ の整数部分は 5 です。

ステップ5：$x$ の小数部分を求めます。

$x$ の小数部分は $x - \text{(整数部分)} = (\sqrt{2}+2+\sqrt{6}) - 5 = \sqrt{2}+\sqrt{6}-3$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{2}+2+\sqrt{6}$

$x$ の整数部分は 5

$x$ の小数部分は $\sqrt{2}+\sqrt{6}-3$