3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の性質

係数が実数である3次方程式が複素数解を持つ場合、その共役複素数も解となる。したがって、$1 + \sqrt{5}i$ が解ならば、$1 - \sqrt{5}i$ も解である。

(2) 解と係数の関係

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 12$

$\alpha\beta\gamma = -b$

となる。

(3) 未知の解を求める

$\alpha = 1 + \sqrt{5}i$, $\beta = 1 - \sqrt{5}i$ とおく。未知の解を $\gamma$ とすると、

$\alpha + \beta = (1 + \sqrt{5}i) + (1 - \sqrt{5}i) = 2$

$\alpha\beta = (1 + \sqrt{5}i)(1 - \sqrt{5}i) = 1 - (5i^2) = 1 + 5 = 6$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \alpha\beta + \gamma(\alpha + \beta) = 6 + 2\gamma = 12$

$2\gamma = 6$

$\gamma = 3$

(4) a, b の値を求める

$\alpha + \beta + \gamma = 2 + 3 = 5 = -a$

$a = -5$

$\alpha\beta\gamma = 6 \cdot 3 = 18 = -b$

$b = -18$

(5) 他の解を求める

$1 - \sqrt{5}i$ と 3 が他の解である。

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -18$

他の解は $1 - \sqrt{5}i$ と $3$