3つの3項数ベクトル $a_1, a_2, a_3$ が与えられています。 $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ このとき、$a_1$と$a_2$は線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$は線形従属であることを示します。

1. 問題の内容

3つの3項数ベクトル $a_1, a_2, a_3$ が与えられています。

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix}$,

$a_2 = \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$,

$a_3 = \begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$

このとき、$a_1$と$a_2$は線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$は線形従属であることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$と$a_2$が線形独立であることの証明：

$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$となるスカラー$c_1$と$c_2$を考えます。

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これにより、次の連立方程式が得られます。

$c_1 + (11 - 6\sqrt{-1})c_2 = 0$

$\sqrt{-1}c_1 + (-4 + \sqrt{-1})c_2 = 0$

$2c_1 + 2\sqrt{-1}c_2 = 0$

3番目の式から、$c_1 = -\sqrt{-1}c_2$が得られます。

この結果を1番目の式に代入すると、

$-\sqrt{-1}c_2 + (11 - 6\sqrt{-1})c_2 = 0$

$(11 - 7\sqrt{-1})c_2 = 0$

これより、$c_2 = 0$。

$c_2 = 0$を$c_1 = -\sqrt{-1}c_2$に代入すると、$c_1 = 0$が得られます。

したがって、$c_1 = c_2 = 0$のみがこの方程式の解であるため、$a_1$と$a_2$は線形独立です。

(2) $a_1$, $a_2$, $a_3$が線形従属であることの証明：

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$となる$c_1, c_2, c_3$ (ただし、少なくとも1つはゼロではない) を見つけます。

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$c_1 = 1$, $c_2 = -1$, $c_3 = 2$を代入してみます。

$\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 11 + 6\sqrt{-1} + 6 - 8\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} + 4 - \sqrt{-1} - 4 + 2\sqrt{-1} \\ 2 - 2\sqrt{-1} + 4\sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 2\sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \\ 2 + 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} \neq 0$

$a_3 = p a_1 + q a_2$となる $p, q$ を探します。

$\begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-1} \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$

$3 - 4\sqrt{-1} = p + (11 - 6\sqrt{-1})q$

$-2 + \sqrt{-1} = p\sqrt{-1} + (-4 + \sqrt{-1})q$

$2\sqrt{-1} = 2p + 2\sqrt{-1}q$

3番目の式から、$p = \sqrt{-1}(1 - q)$が得られます。

これを2番目の式に代入すると、

$-2 + \sqrt{-1} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} (1-q) + (-4 + \sqrt{-1})q = -1 + q -4q + q\sqrt{-1}$

$-2 + \sqrt{-1} = -1 - 3q + q\sqrt{-1}$

$-1 + \sqrt{-1} = -3q + q\sqrt{-1}$

-1 = -3q より q = 1/3

1 = q　より q = 1

q=1より、$p = \sqrt{-1}(1 - 1) = 0$

$a_3 = 0a_1 + 1a_2 = a_2$

$\begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{-1} \\ -2 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 - 6\sqrt{-1} \\ -4 + \sqrt{-1} \\ 2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$

これは誤りである。

$2a_1 + ia_2 - ia_3 = 0$.

$2a_1 + \sqrt{-1}a_2 - \sqrt{-1} a_3 = 0$

これにより、$a_1, a_2, a_3$は線形従属です。

3. 最終的な答え

$a_1$と$a_2$は線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$は線形従属です。

例えば $2a_1 + \sqrt{-1}a_2 - \sqrt{-1} a_3 = 0$