$C^3$ の元であるベクトル $a$ と $b$ が与えられています。 $a = \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{-1} \\ 2 \\ -2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$ $b = \begin{pmatrix} 3 - 2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2 + \sqrt{-1} \end{pmatrix}$ ベクトル $a - b$ の第1成分と、$(1-\sqrt{-1})b$ の第3成分の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$C^3$ の元であるベクトル $a$ と $b$ が与えられています。

$a = \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{-1} \\ 2 \\ -2\sqrt{-1} \end{pmatrix}$

$b = \begin{pmatrix} 3 - 2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2 + \sqrt{-1} \end{pmatrix}$

ベクトル $a - b$ の第1成分と、$(1-\sqrt{-1})b$ の第3成分の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a - b$ を計算します。

$a - b = \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{-1} \\ 2 \\ -2\sqrt{-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 - 2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2 + \sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{-1} - (3 - 2\sqrt{-1}) \\ 2 - \sqrt{-1} \\ -2\sqrt{-1} - (2 + \sqrt{-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3\sqrt{-1} \\ 2 - \sqrt{-1} \\ -2 - 3\sqrt{-1} \end{pmatrix}$

$a - b$ の第1成分は $-2 + 3\sqrt{-1}$ です。

次に、$(1 - \sqrt{-1})b$ を計算します。

$(1 - \sqrt{-1})b = (1 - \sqrt{-1}) \begin{pmatrix} 3 - 2\sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} \\ 2 + \sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 - \sqrt{-1})(3 - 2\sqrt{-1}) \\ (1 - \sqrt{-1})\sqrt{-1} \\ (1 - \sqrt{-1})(2 + \sqrt{-1}) \end{pmatrix}$

$(1 - \sqrt{-1})b$ の第3成分は $(1 - \sqrt{-1})(2 + \sqrt{-1}) = 2 + \sqrt{-1} - 2\sqrt{-1} - (\sqrt{-1})^2 = 2 - \sqrt{-1} - (-1) = 3 - \sqrt{-1}$ です。

最後に、$a - b$ の第1成分と $(1 - \sqrt{-1})b$ の第3成分の和を計算します。

$(-2 + 3\sqrt{-1}) + (3 - \sqrt{-1}) = 1 + 2\sqrt{-1}$

3. 最終的な答え

$1 + 2\sqrt{-1}$