$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成して、頂点の座標を求める。

\begin{align*}

y &= -(x^2 - 2x) + 1 \\

&= -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 \\

&= -(x - 1)^2 + 1 + 1 \\

&= -(x - 1)^2 + 2

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(1, 2)$ である。

次に、$0 \le x \le a$ の範囲における最大値を求める。

場合分けをする。

(i) $0 < a < 1$ のとき、区間 $0 \le x \le a$ で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = a$ で最大値をとる。

最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$

(ii) $a = 1$ のとき、$x=1$で最大値をとる。

最大値は$y = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

(iii) $1 < a$ のとき、区間 $0 \le x \le a$ に頂点 $(1, 2)$ が含まれるので、$x = 1$ で最大値をとる。

最大値は $y = 2$

したがって、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 < a$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 < a$ のとき、最大値は $2$