与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、式を整理します。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + 2abc$

$a$ について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$(b+c)(a^2 + ba + ca + bc)$

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$