行列 $A$ による変換で直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

## 問題2.24

1. 問題の内容

行列 $A$ による変換で直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

直線 $L$ 上の点 $(x, y)$ が行列 $A$ によって $(x', y')$ に移るとします。

すると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ 3x - 4y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 2x$, $y' = 3x - 4y$ が成り立ちます。

$x = \frac{x'}{2}$ を $y' = 3x - 4y$ に代入すると、$y' = \frac{3}{2}x' - 4y$ となります。

$4y = \frac{3}{2}x' - y'$, $y = \frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y'$となります。

これらを直線 $x + 3y = 0$ に代入します。

$\frac{x'}{2} + 3(\frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y') = 0$

$\frac{x'}{2} + \frac{9}{8}x' - \frac{3}{4}y' = 0$

$\frac{4x' + 9x'}{8} - \frac{3}{4}y' = 0$

$\frac{13}{8}x' - \frac{3}{4}y' = 0$

$13x' - 6y' = 0$

よって、変換後の直線は $13x - 6y = 0$ です。

(2)

直線 $L$ 上の点 $(x, y)$ が行列 $A$ によって $(x', y')$ に移るとします。

すると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y \\ x + 2y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 2x - y$, $y' = x + 2y$ が成り立ちます。

$2x - y = x'$, $x + 2y = y'$から$x, y$を求めます。

$2(2x - y) = 2x' \implies 4x - 2y = 2x'$

$(4x - 2y) - (x + 2y) = 2x' - y' \implies 3x - 4y = 2x' - y' \implies x = \frac{2x' - y' + 4y}{3}$

$x = y' - 2y$

$y' - 2y = x$

$2x' - y = 2x' - (2x' - x') = 2(\frac{y' - 2y}{3}) - y' = \frac{2y' - 4y}{3} - y'$

$x = \frac{2}{5}x' + \frac{1}{5}y'$

$y = - \frac{1}{5}x' + \frac{2}{5}y'$

これらを直線 $2x - y + 3 = 0$ に代入します。

$2(\frac{2}{5}x' + \frac{1}{5}y') - (-\frac{1}{5}x' + \frac{2}{5}y') + 3 = 0$

$\frac{4}{5}x' + \frac{2}{5}y' + \frac{1}{5}x' - \frac{2}{5}y' + 3 = 0$

$\frac{5}{5}x' + 3 = 0$

$x' + 3 = 0$

よって、変換後の直線は $x + 3 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $13x - 6y = 0$

(2) $x + 3 = 0$