与えられた式 $6ax^2 - 8ax - 4a$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $6ax^2 - 8ax - 4a$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通する因数を見つけます。

この場合、すべての項は $2a$ で割り切れます。したがって、$2a$ をくくり出します。

$6ax^2 - 8ax - 4a = 2a(3x^2 - 4x - 2)$

次に、括弧内の二次式 $3x^2 - 4x - 2$ がさらに因数分解できるかどうかを検討します。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。ここで、$a=3$, $b=-4$, $c=-2$ です。

$D = (-4)^2 - 4(3)(-2) = 16 + 24 = 40$

判別式が正であるため、$3x^2 - 4x - 2$ は実数の範囲で因数分解できますが、整数係数では因数分解できません。なぜなら $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ が整数ではないからです。

したがって、$3x^2 - 4x - 2$ はこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

$2a(3x^2 - 4x - 2)$