次の4つの関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x + 3 \quad (-2 \le x \le 2)$ (2) $y = -x^2 + 4x - 3 \quad (0 \le x \le 3)$ (3) $y = 3x^2 + 6x - 1 \quad (1 \le x \le 3)$ (4) $y = -2x^2 + 12x \quad (0 \le x \le 6)$

1. 問題の内容

次の4つの関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 2x + 3 \quad (-2 \le x \le 2)$

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 \quad (0 \le x \le 3)$

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 \quad (1 \le x \le 3)$

(4) $y = -2x^2 + 12x \quad (0 \le x \le 6)$

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。その後、定義域の端点と頂点の$x$座標を比較し、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$

頂点は $(-1, 2)$。定義域は $-2 \le x \le 2$。

$x = -1$のとき、$y = 2$（最小値候補）

$x = -2$のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x = 2$のとき、$y = 2^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$（最大値候補）

よって、最大値は$11$、最小値は$2$。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x-2)^2 + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$。定義域は $0 \le x \le 3$。

$x = 2$のとき、$y = 1$（最大値候補）

$x = 0$のとき、$y = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$（最小値候補）

$x = 3$のとき、$y = -3^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$

よって、最大値は$1$、最小値は$-3$。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x+1)^2 - 3 - 1 = 3(x+1)^2 - 4$

頂点は $(-1, -4)$。定義域は $1 \le x \le 3$。

$x = 1$のとき、$y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$（最小値候補）

$x = 3$のとき、$y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$（最大値候補）

よって、最大値は$44$、最小値は$8$。

(4) $y = -2x^2 + 12x = -2(x^2 - 6x) = -2(x-3)^2 + 18$

頂点は $(3, 18)$。定義域は $0 \le x \le 6$。

$x = 3$のとき、$y = 18$（最大値候補）

$x = 0$のとき、$y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$（最小値候補）

$x = 6$のとき、$y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$

よって、最大値は$18$、最小値は$0$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11, 最小値: 2

(2) 最大値: 1, 最小値: -3

(3) 最大値: 44, 最小値: 8

(4) 最大値: 18, 最小値: 0