問題5-1では、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられた対称移動によってどのように移るかを調べ、対応する変換行列を求める必要があります。 問題5-2では、与えられた直線を、与えられた変換（対称移動、回転）によって変換した後の直線の方程式を求めます。 問題5-3では、与えられた放物線または円を、与えられた変換（回転、一次変換）によって変換した後の図形の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題5-1では、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられた対称移動によってどのように移るかを調べ、対応する変換行列を求める必要があります。

問題5-2では、与えられた直線を、与えられた変換（対称移動、回転）によって変換した後の直線の方程式を求めます。

問題5-3では、与えられた放物線または円を、与えられた変換（回転、一次変換）によって変換した後の図形の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

**問題5-1**

(1) x軸に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移り、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ に移ります。したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

(2) y軸に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移り、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に移ります。したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

(3) 直線 $y = x$ に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に移り、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移ります。したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。

(4) 原点に関する対称移動：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移り、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ に移ります。したがって、変換行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

**問題5-2**

(1) $y = -x + 1$ を x軸に関して対称移動：

$y$ を $-y$ に置き換えます。$-y = -x + 1$。したがって、$y = x - 1$。

(2) $y = 3x - 2$ を直線 $y = x$ に関して対称移動：

$x$ と $y$ を入れ替えます。$x = 3y - 2$。したがって、$y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$。

(3) $y = 2x + 1$ を原点に関して対称移動：

$x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に置き換えます。$-y = 2(-x) + 1$。したがって、$y = 2x - 1$。

(4) $y = x - 1$ を $30^\circ$ 回転：

回転行列は $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ で、$\theta = 30^\circ$ です。$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$。

回転行列は $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$。

$x' = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y$、 $y' = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$、 $y = -\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y'$

$y = x - 1$ に代入して、 $-\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' - 1$

$\sqrt{3}y' - y' = \sqrt{3}x' + x' - 2$

$y'(\sqrt{3} - 1) = x'(\sqrt{3} + 1) - 2$

$y' = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}x' - \frac{2}{\sqrt{3}-1} = (2+\sqrt{3})x' - (\sqrt{3}+1)$

$y = (2 + \sqrt{3})x - (\sqrt{3} + 1)$

(5) $y = 3x + 2$ を y軸に関して対称移動した後に $45^\circ$ 回転：

y軸に関して対称移動: $y = -3x + 2$

$45^\circ$ 回転: $x' = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y$, $y' = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y$.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$, $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$.

$-\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y' = 3(\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y') + 2$

$-x' + y' = 3x' + 3y' + 2\sqrt{2}$

$-2y' = 4x' + 2\sqrt{2}$

$y' = -2x' - \sqrt{2}$

$y = -2x - \sqrt{2}$

(6) $y = -2x + 1$ を $60^\circ$ 回転移動した後に x 軸について対称移動：

$60^\circ$ 回転: $x' = \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y$, $y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y$.

$x = \frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y'$, $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$.

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = -2(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y') + 1$

$-\sqrt{3}x' + y' = -2x' - 2\sqrt{3}y' + 2$

$y'(1 + 2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} - 2)x' + 2$

$y' = \frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x' + \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$

$x$軸に関して対称移動：

$y = -\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x - \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$

$y = -\frac{(\sqrt{3}-2)(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}x - \frac{2(1-2\sqrt{3})}{1-12}$

$y = -\frac{\sqrt{3} - 6 + 2 + 4\sqrt{3}}{-11}x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11} = \frac{5\sqrt{3}-4}{11}x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11}$

$y = \frac{5\sqrt{3}-4}{11}x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11}$

**問題5-3**

(1) $y = x^2 - x$ を原点の周りに $45^\circ$ 回転：

$x' = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y$, $y' = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y$.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$, $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$.

$-\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y' = (\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y')^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y')$

$-x' + y' = \frac{1}{2}(x'+y')^2 - (x'+y')$

$-x' + y' = \frac{1}{2}(x'^2 + 2x'y' + y'^2) - x' - y'$

$2y' = \frac{1}{2}(x'^2 + 2x'y' + y'^2)$

$4y' = x'^2 + 2x'y' + y'^2$

$x^2 + 2xy + y^2 - 4y = 0$

(2) $x^2 + y^2 = 1$ を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ で移して出来る図形 D を求めよ。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$x' = x + 2y$, $y' = -x - 2y$

$x' = -y'$

$x = x' - 2y'$, $y=y'$.

$x^2+y^2 = 1$ を移すには逆変換を求めなければならないが、行列 $A$ が正則でないため、逆変換は存在しない。

$x = x' - 2y' = x+2y$

3. 最終的な答え

**問題5-1**

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

**問題5-2**

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = (2 + \sqrt{3})x - (\sqrt{3} + 1)$

(5) $y = -2x - \sqrt{2}$

(6) $y = \frac{5\sqrt{3}-4}{11}x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11}$

**問題5-3**

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 4y = 0$

(2) $x^2+y^2=1$ を $A$ で移しても図形は変わらない。これはAが正則行列でないから。