以下の2つの2次関数の最大値、最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 6x + 5$ (2) $y = -2x^2 + 5x$

1. 問題の内容

以下の2つの2次関数の最大値、最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

(2) $y = -2x^2 + 5x$

2. 解き方の手順

2次関数の最大値・最小値を求めるには、平方完成を行い、頂点の座標を求めるのが一般的です。頂点の$y$座標が、下に凸のグラフであれば最小値、上に凸のグラフであれば最大値となります。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ について

平方完成を行います。

$y = x^2 - 6x + 5$

$y = (x^2 - 6x) + 5$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x - 3)^2 - 4$

この関数のグラフは、頂点が(3, -4)の下に凸な放物線です。

したがって、最小値は-4 (x=3のとき) をとります。最大値はありません。

(2) $y = -2x^2 + 5x$ について

平方完成を行います。

$y = -2x^2 + 5x$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2)$

$y = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16})$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8}$

この関数のグラフは、頂点が$(\frac{5}{4}, \frac{25}{8})$の、上に凸な放物線です。

したがって、最大値は$\frac{25}{8}$ (x=$\frac{5}{4}$のとき) をとります。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -4 (x=3のとき), 最大値: なし

(2) 最大値: $\frac{25}{8}$ (x=$\frac{5}{4}$のとき), 最小値: なし