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与えられた2変数多項式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解する。

代数学多項式因数分解2変数
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 x2+xy−2y2+6x+8x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、xx についての2次式として整理する。
x2+(y+6)x−2y2+8x^2 + (y+6)x - 2y^2 + 8
次に、定数項 −2y2+8-2y^2 + 8 を因数分解することを試みる。しかし、これだけではうまくいかないので、全体を因数分解できる形にするために、定数項を調整する。
x2+xy−2y2x^2 + xy - 2y^2 の部分に着目すると、これは因数分解できて、(x+2y)(x−y)(x+2y)(x-y)となる。
したがって、
x2+xy−2y2+6x+8=(x+2y+a)(x−y+b)x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8 = (x+2y+a)(x-y+b)
とおけるはずである。展開すると、
(x+2y+a)(x−y+b)=x2+xy−2y2+(a+b)x+(2b−a)y+ab(x+2y+a)(x-y+b) = x^2 + xy - 2y^2 + (a+b)x + (2b-a)y + ab
となる。元の式と比較すると、
a+b=6a+b = 6
2b−a=02b-a = 0
ab=8ab = 8
という連立方程式が得られる。
2b=a2b = a を a+b=6a+b = 6 に代入すると、3b=63b = 6 となり、b=2b = 2。したがって、a=4a = 4 となる。
また、ab=4∗2=8ab = 4*2 = 8 となるので、上記の連立方程式は満たされる。
したがって、因数分解の結果は、
(x+2y+4)(x−y+2)(x+2y+4)(x-y+2)
となる。

3. 最終的な答え

(x+2y+4)(x−y+2)(x+2y+4)(x-y+2)

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