3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x + p = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) を持つとき、定数 $p$ の取りうる値の範囲と、解 $\alpha, \beta, \gamma$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x + p = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) を持つとき、定数 $p$ の取りうる値の範囲と、解 $\alpha, \beta, \gamma$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定数 $p$ の範囲を求める。

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおくと、$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$ となる。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, -1$ であり、このとき $f(2) = 16 - 12 - 24 = -20$, $f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$ である。

$y = f(x)$ のグラフを描くと、$x = -1$ で極大値 $7$, $x = 2$ で極小値 $-20$ をとることがわかる。

$2x^3 - 3x^2 - 12x + p = 0$ は $f(x) = -p$ と変形できるので、$y = f(x)$ と $y = -p$ のグラフが3つの交点を持つ条件は、$-20 < -p < 7$ である。

したがって、$p$ の範囲は $-7 < p < 20$ となる。

(2) 解 $\alpha, \beta, \gamma$ の範囲を求める。

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ のグラフにおいて、$\alpha, \beta, \gamma$ は $f(x) = -p$ の解である。

$-7 < p < 20$ であるから、$-20 < -p < 7$ であり、$y=-p$ は $y=f(x)$ の極大値と極小値の間にある。

$f(x)$ のグラフを考えると、$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$, $x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ であり、極大値と極小値の間にある $y=-p$ との交点は、極小値よりも小さい部分、極大値と極小値の間、極大値よりも大きい部分の3つになる。

グラフから、$f(x) = -p$ の3つの解 $\alpha, \beta, \gamma$ は $\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$ を満たす。

また、$p$ が $-7$ に近づくと $\alpha$ は小さくなり、$p$ が $20$ に近づくと $\gamma$ は大きくなる。

$f(-2) = -16 - 12 + 24 = -4$, $f(3) = 54 - 27 - 36 = -9/2$。

極値をとる点以外での$f(x)$を考えると、$f(x)$は単調増加または単調減少しているので、$2x^3 - 3x^2 - 12x + p = 0$が異なる3実数解を持つとき、

$\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$であることがわかる。

$f(\alpha) = f(\beta) = f(\gamma) = -p$なので、$\alpha$,$\beta$,$\gamma$のそれぞれの範囲を求めるためには、$-7 < p < 20$における$f(x) = -p$の解の範囲を考える。$p$が$-7$に近いほど、$\alpha$はより小さい値をとる。$p$が20に近いほど、$\gamma$はより大きい値をとる。

$f(-2) = -4$, $f(3) = 9$なので$-2 < \alpha$。$\gamma < 3$

したがって、$\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$なので

$\alpha < -1$

$-1 < \beta < 2$

$2 < \gamma$

3. 最終的な答え

(1) 定数 $p$ の範囲: $-7 < p < 20$

(2) 解 $\alpha, \beta, \gamma$ の範囲:

$\alpha < -1$

$-1 < \beta < 2$

$2 < \gamma$