正方行列 $A$ がべき零であるとき、$A$ が正則でないことを示す。

1. 問題の内容

正方行列 $A$ がべき零であるとき、$A$ が正則でないことを示す。

2. 解き方の手順

べき零行列の定義から、$A^k = O$ となる正の整数 $k$ が存在します。ここで $O$ は零行列を表します。

もし $A$ が正則であると仮定すると、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

$A^k = O$ の両辺に $(A^{-1})^{k-1}$ を左から掛けると、

$(A^{-1})^{k-1} A^k = (A^{-1})^{k-1} O$

$(A^{-1})^{k-1} A^k = A (A^{-1})^{k-1} A^{k-1} = A (A^{-1} A)^{k-1} = A I = A$ となります。ここで $I$ は単位行列です。

一方、$(A^{-1})^{k-1} O = O$ です。

したがって、$A = O$ となります。

しかし、$A$ が零行列であれば、$A^1 = O$ なので、べき零行列の定義を満たします。

この場合、$A$ が正則であるとすると、$A^{-1}$ が存在し、$A A^{-1} = I$ ですが、

$A = O$ なので、$O A^{-1} = I$ となり、$O = I$ となります。

これは矛盾なので、$A$ は正則ではありません。

あるいは、

もし $A$ が正則だと仮定すると、$\det(A) \ne 0$ である。

しかし、$A^k = O$ より、$\det(A^k) = \det(O) = 0$。

また、行列式の性質から、$\det(A^k) = (\det(A))^k$ である。

したがって、$(\det(A))^k = 0$ となるので、$\det(A) = 0$ となる。

これは $\det(A) \ne 0$ という仮定に矛盾するので、$A$ は正則ではない。

3. 最終的な答え

正方行列 $A$ がべき零であるとき、$A$ は正則ではない。