問題は以下の通りです。 $A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$, $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。 (1) $A$の分母を有理化し、簡単にしなさい。 (2) $B$の整数部分と小数部分をそれぞれ求めなさい。 (3) $B$の小数部分を$p$, $AB$の小数部分を$q$とするとき、$2pq+4p+q+2$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$, $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。

(1) $A$の分母を有理化し、簡単にしなさい。

(2) $B$の整数部分と小数部分をそれぞれ求めなさい。

(3) $B$の小数部分を$p$, $AB$の小数部分を$q$とするとき、$2pq+4p+q+2$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $A$の分母を有理化します。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

(2) $B$を簡単にします。

$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より、 $5 < 3+\sqrt{5} < 6$。

したがって、 $\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < \frac{6}{2} = 3$。

つまり、 $2.5 < B < 3$なので、$B$の整数部分は2です。

$B$の小数部分は$p = B - 2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

(3) $AB$を計算します。

$AB = (\sqrt{5}+1) \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 5 + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4\sqrt{5}+8}{2} = 2\sqrt{5}+4$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より $4 < 2\sqrt{5} < 6$ なので、$8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$。

したがって、$AB$の整数部分は8です。

$AB$の小数部分は$q = AB - 8 = 2\sqrt{5}+4-8 = 2\sqrt{5}-4$。

$2pq+4p+q+2$の値を計算します。

$2pq+4p+q+2 = 2p(q+2) + (q+2) = (2p+1)(q+2) = (2\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} + 1)(2\sqrt{5}-4+2) = (\sqrt{5}-1+1)(2\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}(2\sqrt{5}-2) = 10 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+1$

(2) 整数部分: 2、小数部分: $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $10 - 2\sqrt{5}$