与えられた式 $(x)(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x)(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

まず、式を $(x)(x+3)(x+1)(x+2)$ のように並び替えます。

次に、それぞれのペアを掛け合わせます。

$(x)(x+3) = x^2 + 3x$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

したがって、式は $(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$ になります。

ここで、$y = x^2 + 3x$ と置くと、式は $y(y+2)$ となり、展開すると $y^2 + 2y$ になります。

$y$ を $x^2 + 3x$ に戻すと、式は $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x)$ になります。

$(x^2 + 3x)^2 = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x) = x^4 + 3x^3 + 3x^3 + 9x^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2$

$2(x^2 + 3x) = 2x^2 + 6x$

したがって、元の式は $x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$ となります。

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$