与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を $(x(x+3))((x+1)(x+2))$ のように並び替えて計算を簡単にする。

$x(x+3)$ を展開すると、

$x(x+3) = x^2 + 3x$

$(x+1)(x+2)$ を展開すると、

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

したがって、元の式は

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$

となる。ここで、$A = x^2 + 3x$ とおくと、

$A(A+2) = A^2 + 2A$

次に、$A$ を元に戻すと、

$(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x)$

$(x^2 + 3x)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(3x) + (3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2$

$2(x^2 + 3x) = 2x^2 + 6x$

したがって、

$x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$