## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

(5) $x^2y + xy^2$

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2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

$y = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

これで、$x$と$y$が簡単に表せました。

(1) $x + y = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$

(2) $xy = (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{5})^2 - 2(2) = 20 - 4 = 16$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{16}{2} = 8$

(5) $x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 2(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$

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3. 最終的な答え

(1) $x + y = 2\sqrt{5}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2 + y^2 = 16$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 8$

(5) $x^2y + xy^2 = 4\sqrt{5}$