2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して得られるグラフをGとする。Gは点 $(c,0)$ と $(c+4,0)$ を通る。このとき、 (1) Gをグラフにもつ2次関数をcを用いて表す。 (2) Gが点 $(3,-1)$ を通るとき、Gは2次関数 $y=x^2$ のグラフをx軸方向とy軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して得られるグラフをGとする。Gは点 $(c,0)$ と $(c+4,0)$ を通る。このとき、

(1) Gをグラフにもつ2次関数をcを用いて表す。

(2) Gが点 $(3,-1)$ を通るとき、Gは2次関数 $y=x^2$ のグラフをx軸方向とy軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。

2. 解き方の手順

(1) Gが点 $(c,0)$ と $(c+4,0)$ を通ることから、Gのグラフを表す2次関数は

$y = (x-c)(x-(c+4)) = x^2 - (c+c+4)x + c(c+4) = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$.

よって、アは2、イは4。

(2) Gが点 $(3,-1)$ を通るから、

$-1 = 3^2 - 2(c+2) \times 3 + c(c+4)$.

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$.

$c^2 - 2c - 10 = 0$.

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4+40}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$.

$2 \leq c \leq 3$ より、 $c = 1+\sqrt{11}$.

ここで、$\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$ より $3 < \sqrt{11} < 4$ だから、$4 < 1+\sqrt{11} < 5$.

誤りを発見しました。以下修正します。

(1) Gが点 $(c,0)$ と $(c+4,0)$ を通ることから、軸は $x = c+2$ である。

よって、平方完成すると

$y= (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c(c+4) = (x-(c+2))^2 -c^2 - 4c - 4 + c^2 + 4c = (x-(c+2))^2 - 4.$

アは2、イは4

(2) Gが点 $(3,-1)$ を通るから、

$-1 = (3-(c+2))^2 - 4$

$3 = (1-c)^2$

$1-c = \pm \sqrt{3}$

$c = 1 \pm \sqrt{3}$

$2 \leq c \leq 3$ より $c = 1 + \sqrt{3}$.

したがって、頂点は $c+2 = 3 + \sqrt{3}$ より、$(3 + \sqrt{3},-4)$.

2次関数 $y=x^2$ のグラフをx軸方向に $3 + \sqrt{3}$、y軸方向に $-4$ 平行移動したものである。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4