$ -1 < x < 2 $ かつ $ 1 < y < 3 $ のとき、 $ 2x + 3y $ のとりうる値の範囲を求める。

## 問題8 (1) の解答

1. 問題の内容

$-1 < x < 2$ かつ $1 < y < 3$ のとき、 $2x + 3y$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$2x$ の範囲を求める。不等式の各辺を2倍する。

$-1 < x < 2$

$-2 < 2x < 4$

次に、$3y$ の範囲を求める。不等式の各辺を3倍する。

$1 < y < 3$

$3 < 3y < 9$

$2x + 3y$ の範囲を求めるために、$2x$ と $3y$ の範囲を足し合わせる。

$-2 < 2x < 4$

$3 < 3y < 9$

------------------

$1 < 2x + 3y < 13$

3. 最終的な答え

$1 < 2x + 3y < 13$

## 問題8 (2) の解答

1. 問題の内容

$-1 < x < 2$ かつ $1 < y < 3$ のとき、 $5x - 3y$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$5x$ の範囲を求める。不等式の各辺を5倍する。

$-1 < x < 2$

$-5 < 5x < 10$

次に、$-3y$ の範囲を求める。不等式の各辺を-3倍する。不等号の向きが変わることに注意する。

$1 < y < 3$

$-3 > -3y > -9$

不等号の向きを揃えると

$-9 < -3y < -3$

$5x - 3y$ の範囲を求めるために、$5x$ と $-3y$ の範囲を足し合わせる。

$-5 < 5x < 10$

$-9 < -3y < -3$

------------------

$-14 < 5x - 3y < 7$

3. 最終的な答え

$-14 < 5x - 3y < 7$

## 問題9 (1) の解答

1. 問題の内容

不等式 $3x \le x + 12 < 2x + 8$ を解く。

2. 解き方の手順

この不等式は、$3x \le x + 12$ かつ $x + 12 < 2x + 8$ という2つの不等式に分解できる。

まず、$3x \le x + 12$ を解く。

$3x - x \le 12$

$2x \le 12$

$x \le 6$

次に、$x + 12 < 2x + 8$ を解く。

$12 - 8 < 2x - x$

$4 < x$

つまり、$x > 4$

上記2つの不等式を満たす $x$ の範囲は、$4 < x \le 6$ となる。

3. 最終的な答え

$4 < x \le 6$

## 問題9 (2) の解答

1. 問題の内容

不等式 $0.05 \le 0.2 - \frac{x}{100} \le 0.1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、全ての辺に100を掛けて、小数を取り除く。

$5 \le 20 - x \le 10$

次に、全ての辺から20を引く。

$5 - 20 \le -x \le 10 - 20$

$-15 \le -x \le -10$

全ての辺に-1を掛ける。不等号の向きが変わることに注意する。

$15 \ge x \ge 10$

不等号の向きを揃えると

$10 \le x \le 15$

3. 最終的な答え

$10 \le x \le 15$

## 問題10 (1) の解答

1. 問題の内容

方程式 $|2x - 1| = 3$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外す場合、$2x - 1 = 3$ または $2x - 1 = -3$ の2つの場合が考えられる。

まず、$2x - 1 = 3$ を解く。

$2x = 4$

$x = 2$

次に、$2x - 1 = -3$ を解く。

$2x = -2$

$x = -1$

3. 最終的な答え

$x = 2, -1$

## 問題10 (2) の解答

1. 問題の内容

不等式 $|2x - 1| < 3$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すと、 $-3 < 2x - 1 < 3$ となる。

全ての辺に1を足す。

$-3 + 1 < 2x < 3 + 1$

$-2 < 2x < 4$

全ての辺を2で割る。

$-1 < x < 2$

3. 最終的な答え

$-1 < x < 2$

## 問題10 (3) の解答

1. 問題の内容

不等式 $|2x - 1| \ge 3$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すと、$2x - 1 \ge 3$ または $2x - 1 \le -3$ となる。

まず、$2x - 1 \ge 3$ を解く。

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

次に、$2x - 1 \le -3$ を解く。

$2x \le -2$

$x \le -1$

3. 最終的な答え

$x \le -1, x \ge 2$

## 問題11 の解答

1. 問題の内容

7人乗りタクシーと5人乗りタクシーを合わせて8台使い、47人の客を運びたい。7人乗りは800円、5人乗りは720円で、全体の料金が6100円を超えないようにするには、それぞれのタクシーを何台使えばよいか。

2. 解き方の手順

7人乗りタクシーの台数を $x$ とすると、5人乗りタクシーの台数は $8 - x$ となる。

乗車人数の合計は $7x + 5(8 - x) = 47$ となる。

料金の合計は $800x + 720(8 - x) \le 6100$ となる。

まず、乗車人数の式を解く。

$7x + 40 - 5x = 47$

$2x = 7$

$x = 3.5$

しかし、タクシーの台数は整数でなければならないので、この値は使えない。

次に、料金の式を解く。

$800x + 5760 - 720x \le 6100$

$80x \le 340$

$x \le 4.25$

7人乗りの台数が $x$ なので、$x$ は整数である。

$x$ は3.5ではないので、乗車人数の合計が47人という制約を満たしていない可能性を考慮する必要がある。

$x$ 台の7人乗りと $8-x$ 台の5人乗りタクシーで47人を運ぶことを考える。

7人乗りタクシーの台数が 3台のとき、7*3 + 5*5 = 21 + 25 = 46人となり、1人足りない。

7人乗りタクシーの台数が 4台のとき、7*4 + 5*4 = 28 + 20 = 48人となり、1人多い。

しかし、これらの値で料金が6100円を超えないことを確認する必要がある。

7人乗り3台、5人乗り5台のとき、料金は800*3 + 720*5 = 2400 + 3600 = 6000円 < 6100円。

7人乗り4台、5人乗り4台のとき、料金は800*4 + 720*4 = 3200 + 2880 = 6080円 < 6100円。

上記の検討から、以下の条件を満たす必要がある。

- タクシーの合計台数は8台

- 乗車人数は47人

- 料金は6100円を超えない

7人乗りを3台、5人乗りを5台にすると、乗車人数は46人。

7人乗りを4台、5人乗りを4台にすると、乗車人数は48人。

いずれの場合も47人という条件を満たさない。したがって、問題文に矛盾があるか、整数解が存在しない。

ただし、現実的な解釈として、47人を運ぶという条件をほぼ満たす解を考える。

7人乗りタクシー3台、5人乗りタクシー5台の場合、料金は6000円で、乗車人数は46人。

7人乗りタクシー4台、5人乗りタクシー4台の場合、料金は6080円で、乗車人数は48人。

3. 最終的な答え

問題文の条件を満たす整数解は存在しない。

もし、47人を運ぶという条件を緩和して、料金が6100円を超えない範囲で最大限多くの人を運ぶことを考えると、以下のいずれかになる。

- 7人乗りタクシー3台、5人乗りタクシー5台 (料金: 6000円, 乗車人数: 46人)

- 7人乗りタクシー4台、5人乗りタクシー4台 (料金: 6080円, 乗車人数: 48人)