行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とします。行列による変換は

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せます。

この式から $x$ と $y$ を $x'$ と $y'$ で表すために、逆行列を求めます。行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列は、

$\frac{1}{(4)(2) - (-3)(-2)} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

となります。

したがって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$x = x' + \frac{3}{2}y'$

$y = x' + 2y'$

となります。

これらを $x' + 2y' - 6 = 0$ に代入すると、

$(x - \frac{3}{2}y) + 2( -x + 2y) - 6 = 0$

$x' + 2y' - 6 = 0$ に $x = x' + \frac{3}{2}y'$、 $y = x' + 2y'$ を代入します。

$x' + \frac{3}{2}y' + 2(x' + 2y') - 6 = 0$

$x' + \frac{3}{2}y' + 2x' + 4y' - 6 = 0$

$3x' + \frac{11}{2}y' - 6 = 0$

両辺を2倍して、

$6x' + 11y' - 12 = 0$

これが変換前の直線 $L$ の方程式です。

3. 最終的な答え

$6x + 11y - 12 = 0$