与えられた関数 $f(x) = \frac{2x+1}{3x+1}$ と $g(x) = \frac{4x+2}{5x+1}$ に対して、$g(f(x))$、$f(g(x))$、および $f(h(x)) = x$ を満たす関数 $h(x)$ を求めます。ただし、$h(x) \neq -\frac{1}{3}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{2x+1}{3x+1}$ と $g(x) = \frac{4x+2}{5x+1}$ に対して、$g(f(x))$、$f(g(x))$、および $f(h(x)) = x$ を満たす関数 $h(x)$ を求めます。ただし、$h(x) \neq -\frac{1}{3}$ です。

2. 解き方の手順

(1) $g(f(x))$ の計算

まず、$g(f(x))$ を計算します。

$g(x) = \frac{4x+2}{5x+1}$ に $x = f(x) = \frac{2x+1}{3x+1}$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{4(\frac{2x+1}{3x+1}) + 2}{5(\frac{2x+1}{3x+1}) + 1}$

分子と分母に $(3x+1)$ を掛けます。

$g(f(x)) = \frac{4(2x+1) + 2(3x+1)}{5(2x+1) + (3x+1)} = \frac{8x+4+6x+2}{10x+5+3x+1} = \frac{14x+6}{13x+6}$

(2) $f(g(x))$ の計算

次に、$f(g(x))$ を計算します。

$f(x) = \frac{2x+1}{3x+1}$ に $x = g(x) = \frac{4x+2}{5x+1}$ を代入します。

$f(g(x)) = \frac{2(\frac{4x+2}{5x+1}) + 1}{3(\frac{4x+2}{5x+1}) + 1}$

分子と分母に $(5x+1)$ を掛けます。

$f(g(x)) = \frac{2(4x+2) + (5x+1)}{3(4x+2) + (5x+1)} = \frac{8x+4+5x+1}{12x+6+5x+1} = \frac{13x+5}{17x+7}$

(3) $f(h(x)) = x$ を満たす $h(x)$ の計算

$f(h(x)) = x$ より、$\frac{2h(x)+1}{3h(x)+1} = x$ となります。

$2h(x) + 1 = x(3h(x) + 1)$

$2h(x) + 1 = 3xh(x) + x$

$2h(x) - 3xh(x) = x - 1$

$h(x)(2 - 3x) = x - 1$

$h(x) = \frac{x-1}{2-3x}$

3. 最終的な答え

$g(f(x)) = \frac{14x+6}{13x+6}$

$f(g(x)) = \frac{13x+5}{17x+7}$

$h(x) = \frac{x-1}{2-3x}$